Autoregresywno ruchomy średni model przykład

8.4 Przenoszenie średnich modeli Zamiast używać przeszłych wartości zmiennej prognozowanej w regresji, model średniej ruchomości wykorzystuje przeszłe błędy prognozy w modelu regresywnym. y c t etta etta k etta, gdzie et jest białym szumem. Odnoszę się do tego jako model typu MA (q). Oczywiście nie obserwujemy wartości et, więc nie jest to regresja w zwykłym sensie. Zauważ, że każda wartość yt może być traktowana jako ważona średnia ruchoma ostatnich kilku błędów prognozy. Nie należy jednak mylić średnich ruchomej z ruchomej wygładzonej średniej, o której mówiliśmy w rozdziale 6. W celu oszacowania cyklu trendu wcześniejszych wartości wykorzystywany jest średnioroczny model prognozowania przyszłych wartości, podczas gdy ruchome średnie wygładzenie jest używane do szacowania cyklu trendu ostatnich wartości. Rysunek 8.6: Dwa przykłady danych z ruchomych średnich modeli o różnych parametrach. Lewo: MA (1) z y t 20e t 0.8e t-1. Po prawej: MA (2) z y t e t e t-1 0,8e t-2. W obu przypadkach, e t jest normalnie rozproszonym białym hałasem ze średnią zerem i wariancją. Rysunek 8.6 przedstawia niektóre dane z modelu MA (1) i modelu MA (2). Zmiana parametrów theta1, kropki, thetaq powodują, że różne wzorce serii czasowych. Podobnie jak w modelach autoregresywnych, wariancja warunku błędów et zmieni tylko skalę serii, a nie wzorców. Możliwe jest pisanie dowolnego stacjonarnego modelu AR (p) jako modelu MA (infty). Na przykład, używając powtórzonej podstawy, możemy to udowodnić za model AR (1): rozpocznij yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 i et phi fiordy phi12e phi1 i koniec amptext Pod warunkiem -1 lt phi1 lt 1, wartość phi1k będzie mniejsza, gdy k powiększy się. Więc ostatecznie otrzymujemy yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, proces MA (infty). Wynik odwrotny utrzymuje się, jeśli wprowadzamy pewne ograniczenia parametrów MA. Następnie model MA nazywa się odwracalnym. Oznacza to, że możemy pisać dowolny proces odwracalny MA (q) jako proces AR (infty). Modele odwracalne nie tylko umożliwiają nam konwersję z modeli MA na modele AR. Mają także pewne właściwości matematyczne, które ułatwiają ich stosowanie w praktyce. Ograniczenia inwersji są podobne do ograniczeń stacjonarnych. Dla modelu MA (1): -1lttheta1lt1. Dla modelu MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - eta2l1. Bardziej skomplikowane warunki zachowują się dla qge3. Znowu R zajmuje się tymi ograniczeniami podczas szacowania modeli.8.3 Modele autoregresji W modelu regresji wielokrotnej prognozujemy zmienną zainteresowania przy użyciu liniowej kombinacji predykcyjnych. W modelu autoregresji prognozujemy zmienną odsetkową przy użyciu kombinacji liniowej przeszłych wartości zmiennej. Termin regresja automatyczna wskazuje, że jest to regresja zmiennej przeciwko sobie. Zatem autoregresywny model porządku p można zapisać, gdy c oznacza stały i et biały szum. To jest jak regresja wielokrotna, ale z opóźnionymi wartościami yt jako predykatami. Odnoszę się do tego jako model AR (p). Modele autoregresyjne są niezwykle elastyczne w obsłudze wielu różnych wzorców serii czasowych. Na rysunku 8.5 przedstawiono dwie serie z modelu AR (1) i modelu AR (2). Zmiana parametrów phi1, kropek, wyników fip w różnych wzorcach szeregów czasowych. Odchylenie terminu błędów et zmieni tylko skalę serii, a nie wzorce. Rysunek 8.5: Dwa przykłady danych z modeli autoregresji o różnych parametrach. Lewo: AR (1) z yt 18 -0.8y et. Po prawej: AR (2) z yt 8 ​​1.3y -0.7y et. W obu przypadkach, normalnie rozprowadzany jest biały szum o średniej zerowej i wariancji. W przypadku modelu AR (1): Gdy phi10, yt odpowiada białemu szumowi. Kiedy phi11 i c0, yt jest równoznaczne z losowym chodem. Kiedy phi11 i cne0, yt jest równoznaczne z przypadkowym chodem z dryftem Gdy phi1lt0, yt ma tendencję do oscylowania między wartościami dodatnimi i ujemnymi. Zwykle ograniczamy modele autoregresji do stacjonarnych danych, a następnie pewne ograniczenia wartości parametrów są wymagane. Dla modelu AR (1): -1 lt phi1 lt 1. Dla modelu AR (2): -1 lt phi2 lt1, phi1phi2 lt 1, phi2-phi1 lt 1. Gdy pge3 ograniczenia są znacznie bardziej skomplikowane. R uwzględnia te ograniczenia podczas szacowania modelu.11.2: modele autoregresji wektorowej modele VAR (p) modele VAR (modele autoregresji wektorowej) są wykorzystywane do wielowymiarowych serii czasowych. Struktura polega na tym, że każda zmienna jest liniową funkcją przeszłych opóźnień samego siebie i przeszłych opóźnień pozostałych zmiennych. Jako przykład załóżmy, że mierzymy trzy różne zmienne szeregowe czasowe, oznaczone przez (x), (x) i (x). Wektor autoregresywny wzór rzędu 1, oznaczony jako VAR (1), jest następujący: Każda zmienna jest liniową funkcją wartości opóźnienia 1 dla wszystkich zmiennych w zbiorze. W modelu VAR (2), po prawej stronie równań są dodawane wartości zwrotu 2 dla wszystkich zmiennych. W przypadku trzech zmiennych x (lub serii czasowych) po prawej stronie każdego równania znajdować się będzie sześć predyktorów , trzy trzyletnie terminy i trzy trzyletnie terminy. Ogólnie rzecz biorąc, dla modelu VAR (p), pierwsze opóźnienia każdej zmiennej w systemie byłyby wykorzystywane jako predykatory regresji dla każdej zmiennej. Modele VAR są szczególnym przypadkiem bardziej ogólnych modeli VARMA. Modele VARMA dla wielowymiarowych serii czasowych obejmują strukturę VAR powyżej oraz średnie ruchome dla każdej zmiennej. Bardziej ogólnie, są to szczególne przypadki modeli ARMAX, które pozwalają na dodanie innych predyktorów, które nie leżą poza zbiorem wielowymiarowym. Tutaj, podobnie jak w punkcie 5.8 tekstu, należy skupić się na modelach VAR. Na stronie 304 autorzy pasują do wzoru matematyki mathbf t Gamma mathbf t phi mathbf mathbf t gdzie (mathbf t (1, t)) zawiera terminy równoczesnie dopasować stałą i tendencję. Wynikało to z danych makroekonomicznych, w których duże zmiany danych trwale wpływają na poziom serii. Nie ma tak subtelnej różnicy tutaj od poprzednich lekcji, ponieważ teraz dopasowujemy model do danych, które nie muszą być nieruchome. W poprzednich wersjach tekstu autorzy oddzielnie odwzorowywali każdą serię za pomocą regresji liniowej z t, indeksem czasu, jako zmienną predykcyjną. Wartościami odwzorowania dla każdej z trzech serii są reszty z tej regresji liniowej na t. Ukierunkowanie jest użyteczne w koncepcji, ponieważ zabiera wspólną siłę kierowniczą, która może mieć pewien czas w każdej serii i stwarzać stacjonarność, jak widzieliśmy w poprzednich lekcjach. Takie podejście prowadzi do podobnych współczynników, choć nieco inaczej, ponieważ równocześnie jednocześnie dopasowujemy się do przecięcia i tendencji w modelu wielowymiarowego OLS. Biblioteka Rvars autorstwa Bernharda Pfaffa ma możliwość dopasowania się do tego modelu. Spójrzmy na dwa przykłady: model stacjonarny różniczkowy i model stacjonarny. Różnica - model stacjonarny Przykład 5.10 z tekstu stanowi model różnicowo-stacjonarny, przy czym pierwsze różnice są nieruchome. Pozwala sprawdzić kod i przykład z tekstu, dopasowując powyższy model: install. packages (vars) Jeśli nie zainstalowano już install. packages (astsa) Jeśli biblioteka biblioteki nie została już zainstalowana (astsa) x cbind (cmort, tempr, (VAR (x, p1, typeboth)) Pierwsze dwa komendy ładują niezbędne komendy z biblioteki vars i potrzebne dane z naszej biblioteki tekstów. Polecenie cbind tworzy wektor zmiennych odpowiedzi (krok niezbędny do odpowiedzi wielowymiarowych). Polecenie VAR umożliwia oszacowanie modeli AR przy użyciu zwykłych najmniejszych kwadratów przy równoczesnym dopasowywaniu modelu trendu, przechwytywania i ARIMA. Argument p1 żąda struktury AR (1) i oba pasują do stałej i trendu. Z wektorem odpowiedzi, to właściwie VAR (1). Poniżej znajduje się wyjście z komendy VAR dla zmiennego tempr (tekst zawiera dane wyjściowe dla cmort): Współczynniki dla zmiennej są wymienione w kolumnie Estimate (Estimate). Litera .1 przyłączona do każdej zmiennej nazwy wskazuje, że są to zmienne typu lag 1. Używając notacji temperatury T, ttime (zebranych tygodniowo), M śmiertelności i zanieczyszczenia P, równanie dla temperatury to kapelusz 67.586 - .007 t - 0.244 M 0.487 T - 0.128 P Równanie śmiertelności to kapelusz 73.227 0.014 t 0,465 M - 0,361 T 0,099 P Równanie dla zanieczyszczeń jest kapeluszem t 67.464 - .005 t - 0.125 M - 0.477 T 0.581 P. Macierz kowariancji reszt z VAR (1) dla trzech zmiennych jest wydrukowana poniżej wyników szacunkowych. Odchylenia są w dół po przekątnej i mogłyby być użyte do porównania tego modelu z VAR wyższej klasy. Określenie tej matrycy jest używane przy obliczaniu statystyki BIC, która może być użyta do porównania dopasowania modelu do dopasowania innych modeli (patrz wzory 5.89 i 5.90 tekstu). Więcej informacji na temat tej techniki zawiera analiza zintegrowanych i wspólnych serii czasowych z R przez Pfaff, a także Campbell i Perron 1991. W przykładzie 5.11 na stronie 307 autorzy podają wyniki dla modelu VAR (2) dla danych dotyczących śmiertelności . W R można dopasować model VAR (2) wraz z podsumowaniem poleceń (VAR (x, p2, typeboth)) Wyjście, tak jak zostało to przedstawione przez komendę VAR, jest następująco: Ponownie, współczynniki dla danej zmiennej są wymienione w kolumna Szacunkowa. Przykładowo szacunkowym równaniem dla temperatury jest kapelusz 49.88 - .005 t - 0.109 M 0.261 T 0.051 P - 0.041 M 0.356 T 0.095 P Omówimy statystyki z kryterium informacji w celu porównania modeli VAR różnych zamówień w odrabianiu prac domowych. Resztki są również dostępne do analizy. Na przykład, jeśli przypisujemy komendę VAR do obiektu o nazwie fitvar2 w naszym programie, to mamy fitvar2 VAR (x, p2, typeboth), a następnie mamy dostęp do resztek matrycy (fitvar2). Ta matryca będzie miała trzy kolumny, jedna kolumna reszt dla każdej zmiennej. Na przykład, możemy użyć, aby zobaczyć ACF pozostałości po śmiertelności po dopasowaniu modelu VAR (2). Poniżej znajduje się ACF, który wynika z opisanego polecenia. Wygląda dobrze na resztki ACF. (Duży skok na początku to nieistotna korelacja z opóźnieniem 0.) Następujące dwa komendy utworzy ACF dla pozostałych dla pozostałych dwóch zmiennych. Są podobne do białego szumu. Możemy również przeanalizować te wykresy w macierze korelacji krzywej dostarczonej przez acf (resztki (fitvar2)): wykresy wzdłuż przekątnej to poszczególne ACF dla każdego modelu reszt, które właśnie omówiliśmy powyżej. Ponadto widzimy teraz wykresy korelacji krzyżowej każdego zbioru reszt. Idealnie byłoby to przypominać biały hałas, ale widzimy pozostające korelacje krzyżowe, zwłaszcza między temperaturą a zanieczyszczeniem. Jak zauważyli autorzy, model ten nie pozwala w wystarczającym stopniu na pełny związek między tymi zmiennymi w czasie. Model Trend-Stacjonarny Zapoznaj się z przykładem, w którym oryginalne dane są stacjonarne i sprawdzaj kod VAR, dopasowując powyższy model ze stałą i tendencją. Używając R, symulowaliśmy n 500 wartości próbek za pomocą modelu VAR (2) Używając powyższego opisu VAR: y1scan (var2daty1.dat) y2scan (var2daty2.dat) summary (VAR (cbind (y1, y2), p2, typeboth) ) Otrzymujemy następujące wyniki: Szacunki są bardzo zbliżone do symulacji współczynników, a tendencja nie jest znacząca, zgodnie z oczekiwaniami. W przypadku danych stacjonarnych, gdy detrending nie jest potrzebny, można użyć polecenia ar. ols do modelu VAR: fitvar2 ar. ols (cbind (y1, y2), order2) W pierwszej podanej matrycy, czytaj wiersze, aby uzyskać współczynniki zmiennej. Poprzednie przecinki, po których następuje 1 lub 2, wskazują, czy współczynniki są odpowiednio opóźnione 1 lub 2. Przechwytywanie równań podane jest w punkcie x. przechwytuje jedno przechwycenie na zmienną. Matryca pod var. pred daje macierz wariancji i kowariancji reszt z VAR (2) dla dwóch zmiennych. Odchylenia są w dół po przekątnej i mogłyby być użyte do porównania tego modelu z VAR wyższego rzędu, jak wspomniano powyżej. Standardowe błędy współczynników AR są podawane przez polecenie fitvar2asy. se. coef. Wyjście jest takie jak współczynniki, czyta się w rzędach. Pierwszy wiersz podaje standardowe błędy współczynników dla zmiennych lag 1, które przewidują y1. W drugim rzędzie podano standardowe błędy współczynników, które przewidują y2. Warto zauważyć, że współczynniki są zbliżone do komendy VAR poza przechwytem. To dlatego, że ar. ols szacuje model dla x-średniej (x). Aby dopasować przecięcie dostarczone przez podsumowanie (komenda VAR (cbind (y1, y2), p2, typeconst), musisz obliczyć przecięcie w następujący sposób: W naszym przykładzie przecięcie symulowanego modelu dla yt, 1 równe -0.043637 -2.733607 (1-0.29300.4523) 15.45479 (-0.1913-0.6365) 9.580768, a szacowane równanie dla yt, 1 Szacowanie z Minitab Dla użytkowników Minitab, to jest ogólne przebieg co robić. Przeczytaj dane w kolumnach. Użyj serii czasowej gt Lag, aby utworzyć konieczne opóźnione kolumny wartości stacjonarnych. Użyj stat gt ANOVA gt General MANOVA. Wprowadź listę zmiennych czasowych jako zmienne odpowiedzi. Wpisz zmienne x opóźnione jako współzmienne (i jako model). Kliknij Wyniki i wybierz Jednostowienna analiza (aby zobaczyć szacunkowe współczynniki regresji dla każdego równania). W razie potrzeby kliknij pozycję Magazyn i wybierz Residuals andor Fits. Nawigacja2.1 Przenoszenie średnich modeli (modeli MA) Modele serii czasowej znane jako modele ARIMA mogą obejmować pojęcia autoregresyjne i średnie ruchome. W pierwszym tygodniu dowiedzieliśmy się, że termin autoregresji w modelu szeregów czasowych dla zmiennej x t jest opóźnioną wartością x t. Na przykład terminem autoregresji 1 opóźnienia jest x t-1 (pomnożony przez współczynnik). Ta lekcja definiuje ruchome średnie terminy. Ruchoma średnia wersja w modelu szeregów czasowych jest błędem w przeszłości pomnożonym przez współczynnik. Niech (przewyższa N (0, sigma2w)), co oznacza, że ​​w t są identycznie, niezależnie rozdzielane, każdy z normalnym rozkładem mającym średnią 0 i tę samą wariancję. Średni model średniej ruchomej, oznaczony symbolem MA (1) to (xt mu wt atta1w) Średni model ruchu średniego rzędu, oznaczony symbolem MA (2) to (xt mu wt atta1w theta2w) , oznaczone literą MA (q) jest (xt mu wt theta2w kropka thetaqw) Uwaga. Wiele podręczników i programów definiuje model z negatywnymi znakami przed terminami. To nie zmienia ogólnych teoretycznych właściwości modelu, chociaż odwraca znaki algebraiczne oszacowanych wartości współczynników i (niezakłóconych) w formułach ACF i wariancji. Musisz sprawdzić oprogramowanie w celu sprawdzenia, czy użyto negatywnych lub pozytywnych oznaczeń w celu poprawnego zapisania szacowanego modelu. R używa pozytywnych oznaczeń w swoim modelu bazowym, tak jak tutaj. Właściwości teoretyczne serii czasowej z modelem MA (1) Należy pamiętać, że jedyną niższą wartością w teoretycznym ACF jest opóźnienie 1. Wszystkie inne autokorelacje wynoszą 0. Tak więc próbka ACF o znacznej autokorelacji tylko w punkcie 1 jest wskaźnikiem możliwego modelu MA (1). Dla zainteresowanych studentów, dowody dotyczące tych właściwości stanowią załącznik do niniejszego materiału informacyjnego. Przykład 1 Załóżmy, że model MA (1) wynosi x t 10 w t .7 w t-1. gdzie (nadwrażliwość N (0,1)). Współczynnik 1 0,7. Teoretyczny ACF podano w poniższym wykresie ACF. Przedstawiona fabuła jest teoretycznym ACF dla MA (1) z 1 0,7. W praktyce próbka zazwyczaj nie dostarcza tak wyraźnego wzorca. Używając R, symulujemy 100 wartości próbek przy użyciu modelu x t 10 w t .7 w t-1, gdzie w t iid N (0,1). W tej symulacji powstaje ciąg szeregowy danych przykładowych. Nie możemy wiele powiedzieć z tej fabuły. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Widzimy skok w punkcie 1, a następnie ogólnie wartości nieistotne dla opóźnień 1. Pamiętaj, że próbka ACF nie jest zgodna z teoretycznym wzorem MA (1) leżącego u podstawy, co oznacza, że ​​wszystkie autokorelacje w przypadku opóźnień 1 będą 0 Inna próbka miałaby nieco inną próbkę ACF pokazaną poniżej, ale najprawdopodobniej miałyby takie same cechy. Właściwości terapeutyczne serii czasowej z modelem MA (2) Dla modelu MA (2), właściwości teoretyczne są następujące: Należy zauważyć, że jedynymi wartościami niezonarnymi w teoretycznym ACF są opóźnienia 1 i 2. Autokorelacje dla wyższych opóźnień to 0 Więc próba ACF o znacznych autokorelacjach w przypadku opóźnień 1 i 2, ale nieistotne autokorelacje dla wyższych opóźnień wskazują na możliwy model MA (2). iid N (0,1). Współczynniki wynoszą 1 0,5 i 2 0,3. Ponieważ jest to MA (2), teoretyczny ACF będzie miał wartości inne niż z opóźnieniami 1 i 2. Wartości dwóch niezerowych autokorelacji to wykres A teoretycznej ACF. Jak prawie zawsze jest tak, dane próbki nie zachowują się tak doskonale jak teoria. Symulujemy n 150 wartości próbek dla modelu x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. gdzie w t iid N (0,1). Sporządza się szeregowy szereg danych. Podobnie jak w przypadku szeregów czasowych dla danych próbki MA (1), niewiele można powiedzieć o tym. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Wzór jest typowy dla sytuacji, gdy model MA (2) może być użyteczny. Istnieją dwa statystycznie istotne skoki przy opóźnieniach 1 i 2, po których następują nieistotne wartości dla innych opóźnień. Zauważ, że z powodu błędu pobierania próbek próbka ACF nie pasowała dokładnie do teoretycznego wzoru. ACF dla modeli MA (q) Modeli Ogólną cechą modeli MA (q) jest to, że dla wszystkich pierwszych opóźnień q i autokorelacji 0 dla wszystkich luków gtq istnieją autokorelacje nie zerowe. Niepowtarzalność połączenia pomiędzy wartościami 1 i (rho1) w modelu MA (1). W modelu MA (1) dla dowolnej wartości 1. odwrotny 1 1 daje taką samą wartość jak dla przykładu, użyj 0,5 dla 1. a następnie użyj 1 (0.5) 2 dla 1. Otrzymasz (rho1) 0,4 w obu przypadkach. Aby zaspokoić teoretyczne ograniczenie zwane "invertibility". ograniczamy modele MA (1) do wartości z wartością bezwzględną mniejszą niż 1. W podanym przykładzie, 1 0,5 będzie dopuszczalną wartością parametru, podczas gdy 1 10,5 2 nie będzie. Odwrotność modeli MA Model macierzowy jest odwracalny, jeśli jest on algebraiczny, odpowiadający modelowi zbiegającemu się z nieskończonym modelem AR. Zbiegając się, rozumiemy, że współczynniki AR spadają do 0, gdy wracamy w czasie. Inwersja to ograniczenie zaprogramowane w oprogramowanie serii czasowej służące do oszacowania współczynników modeli z hasłami. To nie coś, co sprawdzamy w analizie danych. Dodatkowe informacje o ograniczeniu inwersji dla modeli MA (1) podano w dodatku. Uwagi dotyczące teorii zaawansowanej. W modelu MA (q) z określonym ACF jest tylko jeden model odwracalny. Warunkiem koniecznym do odwrócenia jest fakt, że współczynniki mają takie wartości, że równanie 1- 1 y-. - q y q 0 ma rozwiązania dla y, które leżą poza okręgiem jednostkowym. R dla przykładów W przykładzie 1 wykreślono teoretyczny ACF modelu x t 10 w t. 7w t-1. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Polecenia R służące do sporządzenia teoretycznej ACF to: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 opóźnień ACF dla MA (1) z theta1 0,7 lags0: 10 tworzy zmienną o nazwie opóźnienia w zakresie od 0 do 10 (h0) dodaje osi poziomej do wykresu Pierwsze polecenie określa ACF i zapisuje je w obiekcie (np. o nazwie acfma1 (nasz wybór nazwy). Polecenie wydruku (trzecie polecenie) powoduje błędy w porównaniu do wartości ACF dla opóźnień 1 do 10. Parametr ylab etykietuje na osi y, a główny parametr umieszcza tytuł na wykresie. Aby zobaczyć wartości liczbowe ACF, użyj komendy acfma1. Symulacje i wykresy zostały wykonane za pomocą następujących poleceń. xcarc. sim (n150, lista (mac (0.7))) Symuluje n 150 wartości z MA (1) xxc10 dodaje 10 do średniej 10. Domyślnie domyślne symulacje to 0. wykres (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF dla symulowanych danych próbki) W przykładzie 2 wymyśliliśmy teoretyczny ACF modelu xt 10 wt5 w t-1 .3 w t-2. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Stosowane komendy R to acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, główny ACF dla MA (2) z theta1 0,5, (x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, y) mainACF dla symulowanych danych MA (2)) Dodatek: Dowód właściwości MA (1) Dla zainteresowanych studentów są dowody na teoretyczne właściwości modelu MA (1). Variance: (text (xt) text (mu wt theta1 w) tekst 0 (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Kiedy h 1, poprzedni wyrażenie 1 w 2. W przypadku dowolnego h2, poprzednie wyrażenie 0 Powodem jest to, że z definicji niezależności wag. E (w k w j) 0 dla dowolnej kj. Ponadto, ponieważ w t oznaczają 0, E (wjwj) E (wj2) w2. W serii czasów Zastosuj ten wynik, aby uzyskać ACF podany powyżej. Inwersyjny model MA to taki, który można zapisać jako model AR nieskończonego zamówienia, który zbiega się tak, że współczynniki AR zbiegają się do 0, gdy poruszamy się nieskończenie wstecz w czasie. Dobrze wykazać inwersję modelu MA (1). Następnie zastępujemy relację (2) dla t-1 w równaniu (1) (3) (zt wt theta1 (z-taleta) wt theta1z-tal2w) W czasie t-2. równanie (2) staje się Następnie zastępujemy związek (4) dla t-2 w równaniu (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - eta21 (z-taleta) wt theta1z - eta12z theta31w) Gdybyśmy kontynuowali ( nieskończoność) dostaniemy model nieskończonej AR (zt wt theta1 z - theta21z theta31z-theta41z dots) Zauważ jednak, że jeśli 1 1, współczynniki mnożące opóźnienia z będą wzrastać (nieskończenie) w rozmiarze, gdy wracamy z powrotem czas. Aby temu zapobiec, potrzebujemy 1 lt1. Jest to warunek odwracalnego modelu MA (1). Model nieskoordynowanych zamówień MA W trzecim tygodniu widzimy, że model AR (1) można przekształcić w model MA nieskończonego rzędu: (xt - mu wt phi1w phi21w kropki phik1 w kropkach sumy fij1w) To sumowanie wcześniejszych białych szumów jest znane jako przyczynę reprezentacji AR (1). Innymi słowy, x t jest specjalnym rodzajem magistra z nieskończoną liczbą terminów z czasem. Nazywa się to nieskończoną kolejnością MA lub MA (). Kończy się rozkazem MA jest nieskończona kolejność AR, a dowolny porządek AR jest rzędem nieskończonym rzędu. Przypomnijmy sobie w tygodniu 1, zauważyliśmy, że wymóg stacjonarnego AR (1) polega na tym, że 1 lt1. Pozwala obliczyć Var (xt) używając reprezentacji przyczynowej. W ostatnim kroku używa się podstawowych faktów dotyczących serii geometrycznych, które wymagają (phi1lt1), w przeciwnym razie serie rozbieżności. Nawigacja